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10.3: Strömungserzeugende Oberfläche - Biologie

10.3: Strömungserzeugende Oberfläche - Biologie


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Denken Sie an Formen, auf denen eine Murmel auf einer komplizierten zweidimensionalen Oberfläche im dreidimensionalen Raum mit Gipfeln und Tälern in ihrer Struktur stationär bleiben könnte, möglicherweise prekär ausbalanciert. Abbildung (PageIndex{1}) zeigt sieben mögliche Konfigurationen, um stationär zu bleiben.

Konfiguration A ist ein Gipfel, ein Höhepunkt in Bezug auf seine Umgebung. Es krümmt sich in alle Richtungen nach unten. Es ist daher instabil – eine darüber liegende Murmel kann in jede Richtung wegrollen.

Konfiguration C ist das Gegenteil, ein Becken. Die Oberfläche krümmt sich in alle Richtungen nach oben. Es ist stabil, weil eine unten liegende Murmel von einer Störung in jede Richtung zurückrollt.

Konfiguration B ist wie eine Kombination aus A und C. Sie wird wegen ihrer „Sattel“ genannt einst allgegenwärtige Form (rechts). Es krümmt sich in einige Richtungen nach oben und in andere nach unten. Eine in ihrer Mitte ruhende Murmel ist instabil, weil sie in viele Richtungen wegrollen kann.

Die Konfigurationen D, E und F beziehen sich auf A, B und C, sind aber in mindestens einer Richtung eben. Ein „Grat“, Konfiguration D, weist entlang seiner gesamten Spitze Gleichgewichte auf. Eine dort prekär balancierte und angestoßene Murmel könnte sich möglicherweise entlang des Kamms zu einem neuen Gleichgewicht bewegen, wenn die Stöße mit unendlicher Genauigkeit ausgerichtet würden; mit ziemlicher Sicherheit würde die Murmel jedoch abrollen. Diese Konfiguration hat eine unendliche Anzahl von Gleichgewichten – entlang des Kamms – aber keines von ihnen ist stabil.

Ein „Trog“, Konfiguration F, ist das Gegenteil eines Kamms, mit Gleichgewichten entlang seiner niedrigsten Ebenen. Eine dort ruhende und angestoßene Murmel bewegt sich in eine neue Gleichgewichtsposition am Boden der Mulde. Auch hier gibt es unendlich viele Gleichgewichte – entlang der gesamten Basis – aber keines ist stabil, weil die Murmel, entlang der Mulde geschoben, nicht an ihre vorherige Position zurückkehrt. Die Gleichgewichte sind jedoch aus ökologischer Sicht neutral stabil.

Eine „Inektion“, Konfiguration E, ist wie eine Kombination von D und F, die die Neigung ändert und eben wird, aber dann wieder die gleiche Richtung wie zuvor einnimmt und nicht in die entgegengesetzte Neigung wechselt. Auch sie hat eine ebene Linie mit unendlich vielen Gleichgewichten, alle instabil, mit Murmeln, die vom kleinsten Stoß in die Hälfte der möglichen Richtungen wegrollen.

Konfiguration G, eine vollkommen flache „Ebene“, ist vielleicht am einfachsten zu verstehen. Eine Murmel kann überall ruhen, daher ist jeder Punkt auf der ebenen Fläche ein Gleichgewicht. Aber eine Murmel kehrt nicht in ihre ursprüngliche Position zurück, wenn sie angestoßen wird, so dass kein Gleichgewicht auf der ebenen Oberfläche stabil ist. In der Ökologie wird diese Situation manchmal als „neutral stabil“ bezeichnet; in der Mathematik heißt es „instabil“.

Mit dreidimensionalen Bildern und menschlicher kognitiver Kraft ist es möglich, eine Oberfläche auf einen Blick zu visualisieren, wie in Abbildung 10.1.1, und die Auswirkungen auf das Bevölkerungswachstum nach Gleichungen zu beurteilen, die dieser Oberfläche entsprechen. Sie sehen auf einen Blick, ob es sich überall nach oben oder unten biegt, ob es Auf- und Abwärtsrichtungen kombiniert oder ob es ebene Stellen hat. Sie können jedes Gleichgewicht in die Konfigurationen von Abbildung (PageIndex{1}) einteilen. Aber wie kann dieses Urteil quantifiziert, automatisiert werden?

Die Methode von Eigenvektoren und Eigenwerte bewerkstelligt dies. Denken Sie an das Präfix eigen- im Sinne von „richtig“, wie in „richtiger Vektor“ oder „richtiger Wert“. Die Idee wird in Kürze klar. Die Methode der Eigenvektoren und Eigenwerte wurde im Laufe von mehr als zwei Jahrhunderten schrittweise von einigen der besten mathematischen Köpfe entwickelt und kann nun intakt auf die Ökologie angewendet werden.

Stellen Sie sich einen eindimensionalen Schnitt durch die Oberfläche von Abbildung 10.1.1 vor, der nacheinander durch die Punkte B, A, C und darüber hinaus geht. Es würde wie oben in Abbildung (PageIndex{2}) aussehen. Wie zuvor wäre eine Kugel, die genau bei A ausbalanciert ist, instabil und bereit, entweder in Richtung B oder C zu rollen. Die Gleichgewichtspunkte sind ebene Punkte, bei denen die Neigung Null ist , wie sie sich auf der Oberfläche von Abbildung 10.1.1 befinden Derivat ist null, wobei dy /dx = 0. Diese Nullsteigungen sind in der Abbildung durch grüne horizontale Linien markiert.

Der mittlere Graph von Abbildung (PageIndex{2}) zeigt das Vorzeichen der Ableitung, dy/dx, Plus oder minus. Die Vorzeichenfunktion auf der vertikalen Achse sgn(du ), ist gleich Null, wenn du ist null, aber gleich plus oder minus eins, wenn du positiv bzw. negativ ist. Ob sich ein Gleichgewicht in einem Tal oder auf einem Gipfel befindet, hängt davon ab, wie sich die Neigung genau am Gleichgewichtspunkt ändert. Aus der Infinitesimalrechnung, das ist die zweite Ableitung, (frac{d^2y}{dx^2}), die Änderungen in der ersten Ableitung aufzeichnet, dy/dx – so wie die erste Ableitung Veränderungen in der Oberfläche selbst aufzeichnet.

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung ist im unteren Teil der Abbildung (PageIndex{2}) dargestellt. Überall dort, wo das Gefälle an einem Gleichgewichtspunkt zunimmt, also von einem Gefälle nach links zu einem Gefälle nach rechts nach oben wechselt, handelt es sich um ein Becken. Überall dort, wo er an einem Gleichgewichtspunkt abnimmt – von links ansteigend zu rechts abfallend –, das ist ein Gipfel. Ob ein Gleichgewichtspunkt stabil ist oder nicht, lässt sich also mathematisch allein aus dem Vorzeichen der zweiten Ableitung der Fläche an diesem Punkt bestimmen!

Dies ist einfach, wenn es nur eine Art gibt, wie in den Modellen früherer Kapitel, mit nur einer zu berücksichtigenden Richtung. Schwierig wird es jedoch, wenn zwei oder mehr Arten interagieren, denn es stehen unendlich viele Richtungen zur Verfügung.

Es könnte den Anschein haben, dass eine Konfiguration ein Becken ist, wenn die Oberfläche in beiden Richtungen nach oben krümmt x und ja Richtungen, wie in Konfiguration C von Abbildung (PageIndex{1}). Aber sehen Sie sich die drei Teile von Abbildung (PageIndex{3}) an. Teil A ist eine Fläche mit einer auf die Achsen ausgerichteten Mulde.

Blick entlang der x-Achse – das wäre die n1 Achse, die die Häufigkeit von Spezies 1 zeigt – die Oberfläche krümmt sich auf beiden Seiten ihres Minimums (weiße Kurve). Blickt man jedoch entlang der ja -Achse – die n2 Achse, die die Häufigkeit von Spezies 2 zeigt – zeigt, dass es genau in dieser Richtung (grüne Linie) ist, was bedeutet, dass das Gleichgewicht nicht stabil ist.

Aber nehmen Sie an, dass dieselbe Fläche um 45 Grad gedreht ist, wie in Teil B der Abbildung. Die Oberfläche krümmt sich nicht nur entlang der x -Achse (weiße Kurve) aber auch entlang der ja -Achse (grüne Kurve). Die Oberfläche ist jedoch dieselbe. Im Gegensatz zu dem, was man hätte erwarten können, ist die Kurve in beiden Richtungen nach oben gerichtet x und ja Wegbeschreibungen nicht bedeuten, dass die Konfiguration ein Becken ist! Die Struktur zu verstehen bedeutet, in die richtigen Richtungen entlang der Oberfläche zu schauen, nicht nur entlang der Achsen.

Dies tun Eigenwerte und Eigenvektoren. Sie richten sich an den „richtigen“ Achsen für die Fläche aus, wie in Teil C dargestellt. Egal wie verdreht, schief oder neu skaliert die Fläche in Bezug auf die Achsen ist, die Eigenvektoren richten sich nach den „richtigen“ Achsen der Fläche. und die Eigenwerte messen, ob die Steigung entlang dieser Achsen bei einem Gleichgewicht zunimmt oder abnimmt.

Kasten (PageIndex{1}) Eigenwertregeln für Bergsteigersysteme

  1. Sind alle Eigenwerte negativ, ist das Gleichgewicht stabil.
  2. Wenn ein Eigenwert positiv ist, ist das Gleichgewicht instabil.
  3. Wenn einige oder alle Eigenwerte null sind und alle verbleibenden Eigenwerte negativ sind, enthalten die Eigenwerte nicht genügend Informationen, um zu wissen, ob das Gleichgewicht stabil ist oder nicht. Ein tieferer Einblick in das System ist erforderlich.

Kurz gesagt, wenn alle Eigenwerte positiv sind, ist das Gleichgewicht ein Becken, wie in den Abbildungen 10.1.1C und (PageIndex{1})C. Wenn alle Eigenwerte negativ sind, ist das Gleichgewicht ein Gipfel, wie in den Abbildungen 10.1.1A und (PageIndex{1})A. Und wenn die Eigenwerte gemischte Vorzeichen haben oder einige Null sind, erhalten wir eine der anderen Konfigurationen. (Siehe Kasten (PageIndex{1}))

er Einfluss der Schwerkraft. Dynamische Systeme können das Gegenteil tun – sie können die höchste Ebene in der Lokalität erreichen. Zum Beispiel wird die natürliche Auslese allgemein als das Besteigen von „Fitnessgipfeln“ in abstrakten „adaptiven Landschaften“ beschrieben. Bei mathematischen Oberflächen und nicht bei echten Gebirgszügen ist dies natürlich nur ein Gesichtspunkt. Ob ein System aufsteigt oder abrutscht, hängt willkürlich davon ab, ob die mathematische Fläche mit einem Plus- oder Minuszeichen in den Gleichungen versehen ist.

Es stellt sich heraus, dass die richtigen Achsen an jedem Gleichgewichtspunkt – die Eigenvektoren – bestimmt werden können genau aus nur vier Zahlen, und wie viel die Steigung an jedem Gleichgewichtspunkt zunimmt oder abnimmt – die Eigenwerte – können gleichzeitig aus denselben vier Zahlen bestimmt werden. Dies sind die vier partiellen Ableitungen in der sogenannten „hessischen Matrix“ der Fläche oder äquivalent in der „jakobischen Matrix“ der Bevölkerungswachstumsgleichungen. Ein Verständnis dieser Matrizen und ihrer Anwendungen hat sich in der Mathematik in den letzten zwei Jahrhunderten entwickelt.

Mit etwas Mühe und Aufmerksamkeit können Sie die Eigenwerte mit Bleistift und Papier mathematisch herausarbeiten. Sie werden jedoch wahrscheinlich Computer verwenden, um die Eigenwerte ökologischer Systeme zu bewerten. Dies kann mit abstrakten Symbolen in Computerpaketen wie Mathematica oder Maxima oder numerisch in Programmiersprachen wie erfolgen R. Für Standard-Zwei-Spezies-Systeme haben wir alle Gleichgewichte und ihre entsprechenden Eigenwerte berechnet. Diese sind in Tabelle (PageIndex{1}) in mathematischer Notation und im Programm (PageIndex{1}) als Code aufgezeichnet und identifizieren die Gleichgewichte und Stabilität für alle Prädations-, Mutualismus- und Konkurrenzsysteme, die durch die Zwei-Spezies-Formeln, die als Referenz in die Tabelle kopiert werden.

Tabelle (PageIndex{1}). Zwei-Spezies-Formeln

StandortGleichgewichtEigenwerte

Herkunft

(Beide Arten ausgestorben)

(0,0)((,r_1,,r_2))

Horizontale Achse

(Spezies 1 bei K1)

(-frac{r_1}{s_{1,1}},,0)(-r_1,,frac{q}{s_{1,1}},))

Vertikale Achse

(Spezies 2 bei K2)

(0,,-frac{r_2}{s_{2,2}})(-r_2,frac{p}{s_{2,2}})

Innere

(Koexistenz)

(frac{p}{a},,,frac{q}{a})(frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a})

mit

a = s1,2 S2,1 − s1,1S2,2

b = r1 S2,2(S2,1 −s1,1) + r2 S1,1(S1,2 −s2,2)

c = −pq

p = r1 S2,2 −r2 S1,2

q = r2 S1,1 −r1 S2,1

in den ökologischen Gleichungen für zwei interagierende Arten,

(frac{1}{N_1},frac{dN_1}{dt},=,r_1,+,s_{1,1}N_1,+,s_{1,2}N_2 )

(frac{1}{N_2},frac{dN_2}{dt},=,r_2,+,s_{2,2}N_1,+,s_{2,1}N_1 )

wo

n1, n2sind Populationshäufigkeiten der Arten 1 und 2

R1, R2 sind intrinsische Wachstumsraten

S1,1, S2,2 Artenwirkungen auf sich selbst messen

S1,2, S2,1 Effekte zwischen Arten messen

p = r1*s22 –r2*s12; # Berechnen Sie nützliche Unter

q = r2*s11 – r1*s21; # Formeln.

a = s12*s21 –s11*s22;

b = r1*s22*(s21–s11) +r2*s11*(s12–s22);

c = -p*q; # Berechnen Sie die Gleichgewichte.

x00=0; y00=0; # (am Ursprung)

x10=-r1/s11; y10=0; # (auf der x-Achse)

x01=0; y01=-r2/s22; # (auf der y-Achse)

x11=p/a; y11=q/a; # (im Innenraum)
v00= r1; w00=r2; # Berechnen Sie die entsprechende

v10=-r1; w10=q/s11; # vier Eigenwertpaare

v01=-r2; w01=p/s22; # (nur Realteil).

v11=(-b-Quadrat(b^2-4*a*c))/(2*a);

w11=(-b+Quadrat(b^2-4*a*c))/(2*a);

Programm (PageIndex{1}). Der Code entspricht Tabelle (PageIndex{1}), zur Verwendung in Computerprogrammen. Quadrat (w) ist eine speziell geschriebene Funktion, die zurückgibt 0 wenn w negativ ist (gibt den Realteil der komplexen Zahl zurück 0 +(sqrt{w},i)).

Die Formeln in Tabelle (PageIndex{1}) funktionieren für jedes Zwei-Spezies-RSN-Modell, d. h. jedes Modell der Form (frac{1}{N_i}frac{dN_i}{dt}, =,r_1,+,s_{i,i}N_i,+,s_{i,j}N_j) mit konstanten Koeffizienten – Formeln für andere Modelle müssen jedoch separat aus einem Softwarepaket abgeleitet werden, oder folgenden Methoden für Jacobi-Matrizen.

box (PageIndex{2}) Parameter für ein Beispiel-Wettbewerbssystem

(r_1,=,1.2)(r_2,=,0.8)Intrinsische Wachstumsrate
(s_{1,1},=,-1)(s_{2,2},=,-1)Selbstlimitierende Bedingungen
(s_{1,2},=,-1.2)(s_{2,1},=,-0.5)Querbegrenzende Begriffe

Oberflächensturmvorhersage an Hanglagen basierend auf Topographie und hydrologischer Konnektivität

Hügel bieten kritische Ökosystemleistungen für Wassereinzugsgebiete wie Bodenerosionskontrolle und Sturmflussregulierung durch Sammeln, Speichern und Abgeben von Regenwasser. Während intensiver Regenfälle steuern die Niederschlagsintensität und die Infiltrationskapazität des Hangs den Horton-Abfluss, während die topografischen Attribute des Hangs (z. In diesem Artikel wird die Literatur zum Zusammenhang zwischen topographischen Merkmalen und hydrologischer Konnektivität diskutiert und gezeigt, wie dieser Zusammenhang verwendet werden kann, um ein sparsames Modell zur Vorhersage des Oberflächenabflusses bei Niederschlägen hoher Intensität zu definieren.

Haupt Text

Zunächst bieten wir eine topographische Charakterisierung des Hangs, die notwendig ist, um die strukturelle hydrologische Konnektivität von Oberflächenströmungen basierend auf der vorhandenen Literatur zu bestimmen. Anschließend demonstrieren wir ein hydrologisches Oberflächenreaktionsmodell, das den geomorphologischen Einheitsgang (GIUH) durch eine räumliche Domäne repräsentativer elementarer Hügel führt, die die strukturelle hydrologische Konnektivität widerspiegeln. Topografische Attribute wirken sich auf Strömungs- und Laufzeitverteilungen aus, indem sie die Gravitationsbeschleunigung von Überlandströmung und -kanal, Sonneneinstrahlung, Strömungsverzögerung durch Vegetation und Strömungsdivergenz/-konvergenz beeinflussen.

Schlussfolgerungen

Wir zeigen anhand eines Beispiels, bei dem wir das GIUH-basierte Modell auf hypothetische Hanglagen anwenden, dass die räumliche Organisation des Kanalnetzes für die Fluss- und Reisezeitverteilung entscheidend ist und dass topografische Attribute der Schlüssel für einfache, aber genaue Darstellungen der hydrologischen Konnektivität sind. Sparsame GIUH-Modelle des Oberflächenabflusses, die diese hydrologische Konnektivität nutzen, haben den Vorteil eines geringen Datenbedarfs, sind skalierbar und unabhängig von der räumlichen Komplexität des Hangs anwendbar und haben das Potenzial, die bei der Bewertung von Ökosystemleistungen verwendeten Hochwasservorhersagewerkzeuge grundlegend zu verbessern.


Syntax

Das Eingabe-Raster, das eine kontinuierliche Oberfläche darstellt.

Gibt an, ob Kantenzellen immer nach außen fließen oder normalen Flussregeln folgen.

  • NORMAL — Wenn der maximale Abfall auf der Innenseite einer Randzelle größer als Null ist, wird die Fließrichtung wie üblich bestimmt, ansonsten verläuft die Fließrichtung zum Rand. Zellen, die vom Rand des Oberflächen-Rasters nach innen fließen sollen, werden dies tun. Dies ist die Standardeinstellung.
  • FORCE — Alle Zellen am Rand des Oberflächen-Rasters fließen vom Oberflächen-Raster nach außen.

Ein optionales Ausgabe-Drop-Raster.

Das Drop-Raster gibt das Verhältnis der maximalen Höhenänderung von jeder Zelle entlang der Fließrichtung zur Weglänge zwischen den Zellmitten in Prozent zurück.

Diese Ausgabe ist vom Gleitkommatyp.

Rückgabewert

Das Ausgabe-Raster, das die Fließrichtung von jeder Zelle zu ihrem steilsten Nachbar mit Gefälle anzeigt.

Diese Ausgabe ist vom Integer-Typ.